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# 关于拉格朗日点稳定性的讨论

在研究引力势能时，一般取无穷远处为引力势能的零点。当物体被从无穷远处拽到某个质点的时候，由于引力做功，所以这个过程中引力势能在降低，所以此类计算中引力势能都是负值。

现在，将该模型大幅简化。假设有两个大质量质点，质量分别为 $$M\_1$$和 $$M\_2$$​，间距为L，以 $$M\_1$$​为原点、 $$\vec{M\_1 M\_2}$$​​为+x方向建立一维坐标系。再引入一个质量为m（ $$m\lt\lt M\_1, M\_2$$​）的质点。当M与m的质点间距为r的时候，m点的引力势能为：

$$
E\_p=-\dfrac{gMm}{r}
$$

由于引力势能为标量，可以直接求代数和，当质点m位于上述一维坐标中位置为(x,0)时，引力势能如下：

$$
E\_{px}=-\dfrac{gM\_1m}{x}-\dfrac{gM\_2m}{L-x}=-gm\left(\dfrac{M\_1}{x}+\dfrac{M\_2}{L-x}\right)
$$

在\[0,L]区间上计算极值条件：

$$
\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}E\_{px}=gm\left\[\dfrac{M\_1}{x^2}-\dfrac{M\_2}{(L-x)^2}\right]
$$

$$
\dfrac{M\_1}{x^2}-\dfrac{M\_2}{(L-x)^2}=0
$$

不难得出，这也是区间内的最值。但问题在于，它是极大值和最大值。根据拉格朗日点的定义，求解的出的点就是拉格朗日点五个解中的第一个（L1点）。在一维系统当中还有另外L2和L3两个解，扩大到二维平面还可以找到L4、L5两个解，在这5个解当中，L1到L3都是不稳定点，而L4和L5，在m远小于M（比如文中所述的“太空垃圾”比照天体的质量量级）也是不稳定解。

所以在词汇表一章中，“残骸常常被堆积到拉格朗日点”的表述是有问题的。的确在此处的太空垃圾确实处于平衡态，但是只要稍有扰动，它们就会被天体拖离。